Какую минимальную силу нужно приложить к ящику для того, чтобы его сдвинуть?

Ящик массой 100 кг стоит на полу кабины лифта. Движущегося вертикально вверх с ускорением 5 м/с². Какую минимальную горизонтальную силу нужно приложить к ящику для того, чтобы сдвинуть его с места, если коэффициент трения между дном ящика и полом лифта равен 0,1?

Решение.

Инерциальную систему отсчета свяжем с поверхностью Земли. Начало координат выберем в точке, совпадающей с положением центра масс ящика в момент начала движения, ось OX направим горизонтально в сторону движения, ось OY – вертикально
вверх. 

В качестве физической системы рассмотрим ящик и будем считать его материальной точкой. Человек, передвигающий ящик, пол лифта, воздух и гравитационное поле Земли по отношению к выделенной физической системе является внешними объектами, поэтому физическая система является незамкнутой. Пол лифта будем считать абсолютно твердым телом, но силы упругости, возникающие при взаимодействии с ящиком. Будем учитывать. Гравитационное поле Земли на протяжении движения лифта будем считать однородным. Взаимодействием ящика с воздухом во время движения пренебрегаем.

Силы, действующие на ящик, схематически изображены на рисунке, где F – сила, с которой человек толкает ящик. Динамическое уравнение движения ящика имеет вид: ma = F_тр + N + F , где a – полное ускорение ящика в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли. Если спроецировать векторные величины на оси OX и OY, получим:

Сила трения F_тр = μN . Кроме того, отметим, что если вектор ускорения лифта направлен вниз, то a_y = -a₀; если вверх, то a_y = a₀ , где a₀ = ускорение лифта в системе отсчета «поверхность Земли», т.е. a_y = ±a₀ . Таким образом,

Решение последней системы уравнений относительно F дает: F = μm(g ± a₀) + ma_x . Ящик может перемещаться относительно пола лифта либо равномерно, либо равноускорено, т.е. a_x ≥ 0, поэтому F ≥ μm(g ± a₀) , откуда F_min = μm(g ± a₀) .

После подстановки числовых значений F_min = 50 Н (при движении лифта вниз), F_min = 0.15 кН (при движении лифта вверх).

Правильность решения можно проверить, рассмотрев случай, когда ускорение лифта равно g и направлено вертикально вниз. В этом случае ящик находится в состоянии невесомости, поэтому незначительной силы достаточно, чтобы сдвинуть его с места. Из формулы следует, что в этом случае F_min = μm(g - g) = 0 , что соответствует выше сказанному.

Ответ: F_min = 50 Н при движении вниз и 0,15 кН при движении вверх.

Источник: Физика. Полный курс подготовки к ЦТ.  Под общей редакцией проф. В.А. Яковенко.