На какое расстояние переместится лодка, если с нее прыгнет человек?

С неподвижной лодки массой 140 кг под углом 30° к горизонту со скоростью 5 м/с прыгает человек массой 70 кг. На какое расстояние переместится лодка, если сила сопротивления воды равна 30 Н?

Решение.

Систему отсчета свяжем с поверхностью Земли и будем считать ее инерциальной. Ось OX направим горизонтально, ось OY – вертикально вверх.

Допустим, что в физическую систему входит только лодка и человек. Земля, воздух и вода по отношению к выделенной физической системе являются внешними телами.

Взаимодействие системы с ними может быть описано при помощи соответствующих сил. Можно выделить два состояния системы: начало прыжка и окончание прыжка. Даже без учета взаимодействия с воздухом физическая система «человек-лодка» незамкнутая, т.к. в момент прыжка на человека действуют сила тяжести, направленная вертикально вниз. Поэтому полный вектор импульса данной системы не сохраняется, т.е. p₁ ≠ p₂ . Однако в данном случае сохраняется проекция полного вектора импульса на горизонтальное направление (ось OX), поскольку в этом направлении внешние силы не действуют (в момент прыжка сила сопротивления воды равна нулю, т.к. лодка находится в состоянии покоя).

Векторы импульсов тел системы изображены на рисунке.

Запишем закон сохранения для горизонтальной составляющей импульса.

Если спроецировать векторные величины на ось OX,

Откуда найдем скорость лодки после прыжка человека.

Для определения расстояния, на которое переместится лодка после прыжка, рассмотрим физическую систему «лодка после прыжка».

Выделенная физическая система является незамкнутой, поскольку взаимодействуют с материальными объектами, не выключенными в нее. Если не учитывать взаимодействие лодки с воздухом, то на нее действуют: сила тяжести m₁g , обусловленная взаимодействием с гравитационным полем Земли; сила сопротивления F_с и выталкивающая сила F_в , обусловленные взаимодействием с водой. Любая незамкнутая система может быть описана законами кинематики, динамики и теоремой об изменении кинетической энергии.

Используем законы кинематики и динамики. Сила, действующие на лодку во время движения, постоянные, поэтому она будет двигаться прямолинейно с постоянным ускорением. Таким образом,

Силы действующие на лодку, и кинетические величины, характеризующие ее движение, изображены на рисунке слева.

Начало координат возьмем в той точке на поверхности воды, где находится лодка в момент прыжка, ось OX направим по движению лодки, ось OY – вертикально вверх. При таком выборе системы координат начальная координата лодки равна нулю, а конечная координата l.

Поэтому, если спроецировать векторные величины на оси координат, с учетом того, что конечная скорость лодки v = 0, получим систему,

Откуда

Если подставить в последнюю формулу значение v₁ .

К этому результату можно прийти, если использовать теорему об изменении кинетической энергии в рассматриваемой физической системы. В соответствии всех внешних сил, действующих на нее. Поскольку сита тяжести и выталкивающая сила, действующая на лодку, направлены перпендикулярно к перемещению, то работа этих сил равна нулю. Поэтому изменение кинетической энергии лодки равно работе силы сопротивления.

В обоих случаях ответ получился одинаковым, т.е. решения является правильным.

Ответ: l = 11 м.

Источник: Физика. Полный курс подготовки к ЦТ.  Под общей редакцией проф. В.А. Яковенко.