Как найти скорость колебаний маятника?

Груз, подвешенный на пружине, растягивает ее на 25 мм. Какова будет максимальная скорость, если он будет совершать колебания вдоль вертикально направленной оси с амплитудой, равной также 25 мм?

Решение.

Предположим, что масса груза и жесткость пружины равны соответственно m и k. Тогда для покоящегося груза, подвешенного на пружине, в  состоянии равновесия выполняется равенство mg = kx₀ , откуда k/m = g/x₀ .

Если теперь этот груз отклонить вверх или вниз от его положения равновесия, он начнет совершать вдоль вертикальной оси OX гармонические колебания. Действительно, если за x = 0 принять координату точки, находясь в которой груз не деформирует пружину, то проекция на ось OX результирующей силы, действующей на груз, находящихся в точке x, будет равна mg – kx = kx₀ – kx = -k(x – x₀) = -kx’ , где x’ – x – x₀ . Поскольку координаты x’ и x отличаются друг от друга только на постоянную величину x₀ , проекции ускорения груза на оси OX  и OX’ будут равны: a_x = a’_x . Поэтому уравнение второго закона Ньютона, записанное в проекциях на ось OX’, принимает вид: ma’_x = -kx, совпадающий с уравнением гармонических колебаний. Отсюда следует, что груз будет совершать гармонические колебания.

Согласно закону сохранения энергии максимальная кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания, равна его максимальной потенциальной энергии.

A – амплитуда колебаний. Отсюда находим v_max .

Подставляем сюда найденное выше выражение для k/m учитывая, что по условию задачи A = x₀ .

Ответ: u_max = 0,5 м/с.

Источник: Подготовка к тестированию по физике. Шепелевич. В. Г.