Как найти механическую энергию колебательной системы?

Шарик массой 10 г совершает колебательное движение с амплитудой 3 см и частотой 10 Гц. Определите механическую энергию колебательной системы, а также мгновенные значение значения координаты, скорости и ускорения шарика, если в начальный момент времени он находился в состоянии равновесия.

Решение.

Примем шарик за материальную точку и допустим, что его колебания являются гармоническими, т.е. в качестве идеальной модели колебательной системе выберем одномерный гармонический осциллятор.
Ось OX направим вдоль направления колебаний шарика.
Тогда уравнение колебаний осциллятора может быть записано в виде.

Поскольку частота колебаний известна, то может найти циклическую частоту.

Для определения j₀ используем начальные условия. По условию задачи в начальный момент времени осциллятор находился в состоянии равновесия. Поэтому при t = 0, x = 0, т.е. x₀ sin j₀ = 0. Откуда j₀ = 0. С учетом этого уравнение колебаний шарика запишется в следующем виде.

Мгновенная скорость осциллятора v = x¢(t) .

Мгновенное ускорение a = v’(t).

Механическая энергия колебательной системы имеет вид.

Если подставить в последнюю формулу значения x и v, получим конечную формулу.

Ответ: E = 18 v Дж, x = 0.03sin 20pt м, v = 1.88cos 20pt м/с , a = -115sin 20pt м/с² .

Источник: Физика. Полный курс подготовки к ЦТ.  Под общей редакцией проф. В.А. Яковенко.