Как определить кинетическую энергию тела в момент отрыва?

На горизонтальную стальную мембрану, совершающую вынужденные колебания с частотой 400 Гц т амплитудой 0,1 мм, насыпан мелкий песок. При некоторой амплитуде колебаний мембраны песчинки начинают подскакивать. Определите кинетическую энергию песчинки массой 0,1 мг в момент ее отрыва от мембраны.

Решение.

Систему отсчета свяжем с поверхностью Земли и будем считать ее инерциальной.

Начало координат выберем в состоянии устойчивого равновесия мембраны, ось OX направим вертикально вверх. В качестве физических систем будем поочередно рассматривать мембрану и находящуюся на ней песчинки.

Допустим, что мембрана совершает гармонические колебания, т.е. в качестве идеальной модели физической системы «мембрана» рассмотрим гармонический осциллятор. Пусть в начальный момент времени осциллятор находится в состоянии равновесия и начал двигаться вверх. Уравнение колебаний (зависимость координаты от времени) имеет следующий вид.

Проекция скорости и ускорения осциллятора на ось соответственно равны.

Физическая система «песчинка» является незамкнутой. Ее можно принять за материальную точку и описать вторым законом Ньютона.

N – реакция мембраны, m₀ – масса песчинки. Если спроецировать векторные величины на ось OX с учетом того, что до отрыва песчинки ль мембраны их ускорения одинаковы, получим в проекциях.

Таким образом, выделенные физические системы могут быть описаны следующими уравнениями.

В момент отрыва песчинки от мембраны (t = t₁ ) N = 0 , поэтому ma_x = - mg , т.е. a_x = -g. Пусть значения координаты и проекции скорости песчинки в этот момент времени равны соответственно x₁ и v₁ . С учетом этого, уравнения, соответствующие моменту отрыва песчинки будут иметь вид.

Принимая во внимание, что sin²2put₁ + cos²2put₁ = 1,  решая совместно второе и третье уравнения, получим.

Следовательно можем найти кинетическую энергию песчинки в момент отрыва от мембраны.

С учетом того, что в любой инерциальной системе отсчета кинетическая энергия песчинки E ³ 0 , полученная формула является ответом задачи, если выражение, которое стоит в скобках, не отрицательное, т.е., если частота и амплитуда колебаний удовлетворяют неравенству.

Ответ: E = нДж.

Источник: Физика. Полный курс подготовки к ЦТ.  Под общей редакцией проф. В.А. Яковенко.