При каком наименьшем угле наклона лестница, приставленная к стене, будет находится в равновесии?

При каком наименьшем угле наклона к горизонту лестница, приставленная к стене, будет находится в равновесии, если коэффициент трения между лестницей и полом равен µ₁ , а между лестницей и стенкой µ₂ ?

Решение.

Анализ описанной в задаче физической ситуации показывает, что если в качестве физической системы выбрать лестницу и считать ее абсолютно твердым телом, находящимся в состоянии покоя в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхности Земли, то геометрическая сумма действующих на лестницу сил и моментов этих сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, должны быть равными нулю.

Если не учитывать выталкивающую силу со стороны воздуха, то на лестницу действует сила тяжести mg, приложенная в ее центре и направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции стены N₂ , направленная горизонтально, сила трения между лестницей и полом F₁ , и сила трения покоя между лестницей и стеной F₂. Запишем первое условие равновесия.

Если спроецировать векторные величины на оси OX и OY, то получим систему.

То есть F₁ = N₂ , F₂ = mg – N₁ . С учетом того, что F₁ ≤ µ₁N₁ и F₂ ≤ µ₂N₂ имеем.

Поскольку в двух последних неравенствах имеются три неизвестных величины, составим в явном виде уравнение моментов относительно точки соприкосновения лестницы с полом (точка А).

В этом уравнении l – длинна лестницы, α – угол наклона лестницы к горизонту. Если подставить в последнюю формулу значение F₂ = mg – N₁ получим новое уравнение.

С учетом неравенств для N₁ и  N₂ получим.

Ответ .

Источник: Физика. Полный курс подготовки к ЦТ.  Под общей редакцией проф. В.А. Яковенко.