Как найти максимальную высоту подъема шара после столкновения и расстояние на которое переместится призма?

Шар массой m, летящий горизонтально со скоростью v₀ , сталкивается с неподвижной призмой массой M, стоящей на столе, и после абсолютно упругого удара движется вертикально вверх. Определите максимальную высоту, на которую поднимается шар, и расстояние, на которое переместится призма, если коэффициент трения между ней и поверхностью стола равен μ.

Решение.

Систему отсчета свяжем с поверхностью Земли и будем считать ее инерциальной.
Начало координат выберем в точке столкновения. Ось OX направим горизонтально, ось OY – вертикально вверх.

Высоту поднятия шара и перемещение призмы можно определить, если известны их скорости v₁ и v₂ в конце столкновения.

Для определения этих скоростей рассмотрим физическую систему «шар - призма». Можно выделить два состояния этой системы: начало о конец столкновения. Будем считать, что при столкновении взаимодействия шара с призмой и призмы с поверхностью стола происходят мгновенно и одновременно. Фактически это означает, что мы будем рассматривать столкновение шара с системой «призма – поверхность стола». Отметим, что допущение об одновременности и мгновенности взаимодействия выполняется, если жесткость материала призмы больше и сравнима с жесткостью материала шара, а их размеры также сравнимы между собой.

Поскольку выделенная физическая система взаимодействует с материальными объектами, не входящими в нее, то она является незамкнутой. Если не учитывать взаимодействие с воздухом, то по горизонтали на физическую систему внешние силы не действуют.

Поэтому проекция полного импульса системы на это направление сохраняется, т.е.          (p₁)_x = (p₂)_x , где p₁ = mv­­₀ , p₂ = mv₁ + Mv₂ .

Если спроецировать векторные величины на ось OX, получим: mv_0­ = Mv₂ .

По условию задачи рассматриваемая система консервативная, поэтому при переходе из начального состояния в конечное в ней выполняется закон сохранения механической энергии.

Таким образом система «шар – призма» математически описывается следующей системой уравнений.

Решение этой системы дает скорости v₁ и v₂ ,

где v₁ – скорость шара, v₂ – скорость призмы сразу после столкновения.

Для определения максимальной высоты, на которую поднимается шар, рассмотрим физическую систему «шар после удара – гравитационное поле Земли». Можно выделить два состояния этой систем: начальное – непосредственно после столкновения и конечное – в момент времени, когда шар достиг максимальной высоты. Если не учитывать взаимодействие шара с воздухом, то рассматриваемая физическая система является замкнутой и консервативной и может быть описана законом сохранения механической энергии.

Если нулевой уровень потенциальной энергии системы выбрать на горизонтали, проходящей через точку столкновения, то начальная энергия системы E₁ будет равна.

В конечном состоянии E₂ .

Заметим, что полученная формула является решением задачи при условии, если      m/M < 1.

Если в физическую систему включить только «шар после удара», то получим незамкнутую физическую систему, которая может быть описана законами кинематики и динамики или теоремой об изменении кинетической энергии.

В первом случает (если не учитывать взаимодействие с воздухом) физическая система может быть описана следующими законами.

Если перейти к скалярной форме и учесть, что в верхней точке скорость шара равна нулю, получим максимальную высоту поднятия шара.

При использовании энергетического подхода ∆E_k = A , где A – работа силы тяжести.

Таким образом, независимо от выбора физической системы и законом, описывающих ее, получается одно и тоже выражение для максимальной высоты подъема шара, хотя физическое обоснование в этих случаях разное. Это свидетельствует о том, что высота, на которую поднялся шар после столкновения, найдена правильно.

Для определения перемещения призмы рассмотрим физическую систему «призма после столкновения». Можно выделить два состояния этой системы: начальное – непосредственно после столкновения  и конечное – в момент остановки призмы.

Выделенная физическая система является незамкнутой, т.к. на нее действуют: сила тяжести Mg , обусловленная взаимодействием с гравитационным полем Земли, сила реакции N и сила трения F_тр , обусловленные взаимодействием с поверхностью стола (взаимодействие призмы с воздухом не учитываем).
Таким образом, про кинематико-динамическом подходе система может быть описана следующими законами.

Если перейти к скалярной форме и учесть, что F_тр = μN , в скорость призмы в конце движения v = 0, получим l.

Можно использовать для описания этой физической системы энергетический подход.

Работа силы тяжести и силы реакции опоры равны нулю, поэтому работа внешних сил A = A_тр = F_тр cos180° = -μMgl. C учетом того, что v₂ = (mv₀)/M найдем l.

Совпадение результатов свидетельствует о правильности решения задачи.          

Ответ: .

Источник: Физика. Полный курс подготовки к ЦТ.  Под общей редакцией проф. В.А. Яковенко.