Как определить скорость электрона?

Электрон из состояния покоя разгоняется в однородном электростатическом поле, модуль напряженности которого 3,0 МВ/м. Определите модуль скорости электрона через 1,0 нс после начала движения.

Решение.

В качестве физической системы рассмотрим электрон. Если пренебречь взаимодействием электрона с гравитационным, электрическим и магнитными полями Земли, а также предположить, что он движется в вакууме, то разгон происходит только под действием ускоряющего поля.

Поэтому движение электрона в инерциальной системе отсчета можно описать вторым законом Ньютона и кинематическими законами равноускоренного прямолинейного движения.

В качестве тела отсчета возьмем лабораторию, ось OX направим в сторону движения (т.е. против поля), выбрав начало координат в точке, из которой электрон начал двигаться. Если спроецировать векторы, изображающие соответствующие величины, на ось OX, с учетом того, что v₀ = 0, получим:

ma = eE, x = at²/2, v = at.

Откуда искомая скорость v = eEt/m.

Подставив числовые значения заряда и массы электрона, а также значения E и t, получим v = 5,3•10⁸ м/с, что больше скорости света в вакууме.

Так как ни в какой системе отсчета тело не может двигаться со скоростью превышающей скорость света в вакууме, то полученное значение скорости не может быть ответом задачи. Причиной ошибки явилось неявно сделанное предположение о том, что движение электрона может быть описано законами классической механики.

Изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на него, т.е. Dp = FDt, не только в классической, но и в релятивистской механике. Причем пот релятивистских скоростях движения импульс тела p = gmv.

С учетом этого, применительно к ситуации, описанной в задаче, теорему об изменении импульса можно записать в виде: D(gmv)=eEDt.

Принимаем во внимание, что Dv = v – v₀ = v, Dt = t – t₀ = t (т.е. в момент времени t₀ = 0 скорость v₀ = 0).

Откуда находим модуль искомой скорости электрона v.

Ответ: v = 2,6•10⁸ м/с.

Источник: Физика. Полный курс подготовки к ЦТ.  Под общей редакцией проф. В.А. Яковенко.