Как определить заряд шарика?

После того, как трем маленьким шарикам массой m каждый, подвешенным на нитях длиной l, закрепленных в одной точке, сообщили равные одноименные заряды, они расположились в вершинах равностороннего треугольника со стороной a. Определите заряд шариков.

Решение.

В качестве тела отсчета выберем поверхность Земли и будем считать систему отсчета, связанную с ней, инерциальной. Предположим, что точка подвеса покоится по отношению к выбранной системе отсчета.

В качестве физической системы рассмотрим заряженный шарик, который примем за материальную точку, заряд шарика будем считать точечным. Выделенная физическая система является незамкнутой, так как взаимодействует с материальными объектами, не включенными в нее. Эти взаимодействия могут быть описаны соответствующими силами. Так как заряженный шарик покоится по отношению к выбранной инерциальной системе отсчета, то геометрическая сумма сил, действующих на него, равна нулю.

Если пренебречь взаимодействием шарика с электрическим полем Земли и воздухом, то условие равновесия может быть записано в следующем виде.

Где mg – сила тяжести шарика, F­_упр – сила упругости нити, F₂₁ – сила электростатического взаимодействия с зарядом второго шарика.

Силы, действующие на шарик, схематически показаны на рисунке выше. Из рисунка видно, что сила F₂₁ расположена в горизонтальной плоскости, а силы F_упр и mg – в вертикальной.

Проецируя векторы, изображающие соответствующие силы, на оси OX и OY, получим систему уравнений.

Где α – угол между высотой треугольника H и его стороной l. Выразим значение модуля силы упругости из второго уравнения и подставим его в первое.

По условию задачи заряды всех шариков одинаковы, т.е. q₁ = q₂ = q.

Где e - диэлектрическая проницаемость воздуха, a – расстояние между центрами шариков.

Откуда находим заряд шарика q.

Принимая во внимание, что e = 1, получим окончательный ответ.

Полученное значение заряда является ответом задачи, если выражение стоящее в знаменателе под корнем, положительно, т.е. если выполнено условие a < l/2.

Ответ: 

Источник: Физика. Полный курс подготовки к ЦТ.  Под общей редакцией проф. В.А. Яковенко.