Какую скорость сообщить шарику, чтобы он сделал полный оборот?

В однородном вертикальном электростатическом поле, напряженность которого E, на нити длиной l подвешен шарик массой m и зарядом q. Какую минимальную скорость нужно сообщить шарику, чтобы он сделал полный оборот в вертикальной плоскости?

Решение.

В качестве физической системы рассмотрим заряженный шарик, который примем за материальную точку, а его заряд будем считать точечным. Выделенная физическая система является незамкнутой и следовательно, может быть описана законами кинематики, динамики и теоремой об изменении кинетической энергии.

В качестве начального выберем состояние рассматриваемой системы в момент времени t₀ = 0, когда шарику сообщили искомую скорость v₀ , в качестве конечного – состояние в момент времени, когда шарик оказался в верхней точке траектории. Изменение кинетической энергии шарика при переходе из начального состояния в конечное равно работе всех внешних сил, действующих на него.

Если пренебречь взаимодействием с воздухом, электрическим и магнитным полями Земли, то во время движения на шарик действуют сила тяжести mg, сила упругости нити F_упр и сила взаимодействия с внешним электростатическим полем F_эл = qE.

Так как в любой точке траектории сила упругости перпендикулярна к направлению движения шарика, то работа этой силы при его перемещении из начального состояния в конечное равна нулю. Поэтому DW_кин = A₁ + A₂ , где A₁ – работа силы тяжести, A₂ – работа силы электростатического взаимодействия с внешним полем. С другой стороны DW_кин = mv²/2 – mv₀²/2, где v и v₀ – модули скоростей шарика в верхней и нижней точках траектории соответственно.

Работа в электростатическом и гравитационном полях не зависит от формы траектории и определяется только координатами шарика в начальный и конечный моменты времени. Поэтому A₁ = -2mgr , где r = l – радиус окружности, по которой движется шарик. A₂ = ±2qEr , причем знак «плюс» соответствует случаю, когда вектор напряженности внешнего электростатического поля E направлен вертикально вверх и заряд шарика положительный; или случаю, когда E направлен вертикально вниз и заряд шарика отрицательный. Таким образом, A = -2mgr ± 2qEr. Подставляем значения DW_кин и A в аналитическое выражение теоремы об изменении кинетической энергии.

Для нахождения v воспользуемся вторым законом Ньютона, записав его для момента времени, соответствующего верхней точки траектории. С учетом сделанных выше допущений, ma = mg + F_упр + qE, где a – полное ускорение шарика в этой точке. Проецируя векторы, изображающие соответствующие величины, на ось OY, направленную вниз получим: ma_н = mg ± qE + F_упр , где a = v²/l – центростремительное ускорение шарика в верхней точке траектории.

Следовательно mv² = (mg ± qE + F_упр )l .

Так как все величины, входящие в формулу, за исключением силы упругости, постоянны, то v₀ = f(F_упр). F_упр >= 0.

Из формулы видно, что если сила электростатического взаимодействия направлена вниз, то v_0min > 0 при любых числовых значениях величин, входящих в нее (подумайте, до каких пор можно увеличить заряд шарика и поле; чем вызваны ограничения). Если сила электростатического взаимодействия направлена вертикально вверх, то v_0min > 0, при условии, что qE < mg.

Ответ: 

Источник: Физика. Полный курс подготовки к ЦТ.  Под общей редакцией проф. В.А. Яковенко.