На какое минимальное расстояние могут сблизиться протон и альфа-частица?

В начальный момент времени протон и α-частица покоятся в вакууме на достаточно большом расстоянии друг от друга. На какое минимальное расстояние смогут сблизиться частицы, если одной из них сообщить скорость, модуль которой 1,0 км/с, направленную вдоль прямой, соединяющей эти частица.

Решение.

В качестве физической системы рассмотрим протон и α-частицу, считая их
материальными точками, а их заряды точечными. Земля, как источник гравитационного, электрического и магнитного полей, по
отношению к выделенной физической системе является внешним телом.

Однако, если взаимодействием рассматриваемой системы с этими полями пренебречь, то ее можно считать замкнутой и описать законом сохранения импульса и законом сохранения энергии. Если учесть, что скорости движения частиц малы по сравнению со скоростью света, то можно воспользоваться классическими выражениями для энергии и импульса, а также законами электростатики при описании электрических взаимодействий частиц.

В качестве начального состояния физической системы рассмотрим состояние в момент времени, когда одной из частиц, например протону, сообщили скорость v₀. В качестве конечного выберем состояние, когда расстояние между частицами минимально.=

Так как полный вектор импульса рассматриваемой физической системы и ее полная энергия, представляющая собой сумму кинетических энергий частиц и энергии их электростатического взаимодействия, сохраняются, то p_нач = p_кон и W_нач = W_кон . Принимая во внимание, что p_нач= m₁v₀ , где m₁ – масса протона, v₀ – сообщенная ему скорость; p_кон = m₁v₁ + m₂v₂ , где m₂ – масса α-частицы, а v₁ и v₂ – скорости протона и α-частицы в момент времени, соответствующий минимальному расстоянию между н=+ими, получим: m₁v₀ = m₁v₁+ m₂v₂ .

Так как заряды протона и α-частицы q₁ и q₂ – одноименные, то сила кулоновского взаимодействия между ними будет тормозить протон и разгонять α-частицу. Поэтому расстояние между частицами будет уменьшаться до тех пор, пока скорость протона v₁ больше скорости α-частицы (протон догоняет α-частицу). Расстояние будет наименьшим в момент времени, когда скорости частиц окажутся одинаковыми, а затем опять начнет возрастать. Следовательно, в конечном состоянии v₁ = v₂ = v. С учетом того, что скорости направлены в одну сторону, закон сохранения импульса в скалярной форме имеет вид m₁v₀ = m₁v + m₂v.

В начальный момент времени протон и α-частица находятся на большом расстоянии друг от друга, причем α-частица находятся на большом расстоянии друг от друга, причем α-частица неподвижна, поэтому энергия электростатического взаимодействия частиц и кинетическая энергия α-частицы равны нулю.