Где будет находиться поршень, если нагреть цилиндр?

В горизонтальном цилиндре объемом 2,0 дм³ , герметически закрытом с обеих сторон, может свободно перемещаться легкий поршень. В пространство с одной стороны от поршня ввели 2,0 г воды, а с другой – 1,0 г азота. Где будет находиться поршень, если цилиндр нагреть до температуры 100  ͦC?

Решение.

В качестве физических систем по очереди рассмотрим азот, воду и поршень. Будем считать, что при данных в задаче параметрах, характеризующих состояние азота, его можно считать идеальным газом. Поршень будем считать невесомым и тонким, кроме того, примем, что он может перемещаться и вдоль стенок цилиндра без трения. Будем считать, что азот и вода не могут переходит из одной части цилиндра в другую.

Допустим, что вся вода, находящаяся в цилиндре при температуре 100  ͦC, испарилась, причем ее пар является ненасыщенным (эта гипотеза требует обязательной проверки). Поэтому пар также можно рассматривать как идеальный газ.

С учетом сформулированных выше допущений, первую и вторую из выделенных физических систем можно описать уравнением состояния идеального газа (уравнение Клайперона-Менделеева).

Из уравнения Клайперона-Менделеева вытекает, что давление азота равно p₁ = m₁RT/M₁V₁ ; давление водяного пара p₂ = m₂RT/M₂V₂ , где m₁ и m₂ – массы, M₁ и M₂ – молярные массы азота и водяного пара, V₁ и V₂ – объемы, занимаемые азотом и паром.

Поскольку поршень тонкий, то V₁ + V₂ = V, где V – объем цилиндра. Физическая система «поршень» является незамкнутой (это обусловлено ее взаимодействиями с внешними объектами). Эту систему можно описать законами динамики и теоремой об изменении кинетической энергии. После нагревания поршень находится в состоянии равновесия относительно избранной системы отсчета, поэтому геометрическая сумма сил, действующих на него, равна нулю.

Поскольку поршень невесомый, то его взаимодействие с гравитационным полем Земли можно не учитывать. Взаимодействие поршня со стенками цилиндра дает силы реакции стенок, причем равнодействующая этих сил равна нулю (иначе поршень должен двигаться по вертикали). Силы трения между поршнем и стенками отсутствуют согласно условию задачи.

Взаимодействие поршня с азотом и водяным паром дает силы давления F₁ и F₂ , направленные горизонтально в противоположные стороны. Поэтому условие равновесия поршня имеет вид: F₁ + F₂ = 0 , или в скалярной форме F₁ – F₂ = 0. Поскольку F₁ = p₁S , F₂ = p₂S , где S – площадь поршня, то поршень находится в состоянии равновесия, если p₁ = p₂ . Таким образом, математическая модель ситуации, о которой говорится в задаче, представляет собой следующую систему уравнения.

Решаем последнюю систему относительно V₂ .

Для проверки гипотезы о том, что водяной пар является ненасыщенным, определим его давление p₂ .

Если в последнюю формулу подставить значения всех величин, получим p₂ = 0,23 Мпа. Поскольку при любой  температуре давление ненасыщенного пара при этой температуре, а при температуре 100  ͦC давление водяного пара равно атмосферному, т.е. p_н = p₀ = 0,1 МПа, то гипотеза о том, что пар является ненасыщенным, не соответствует реальной ситуации.

Это означает, что в пар превратилась только часть воды, причем пар является ненасыщенным. Поэтому p₂ = p_н = 0,1 МПа.

С учетом этого найдем объемы азота и пара соответственно.

Отсюда найдем массу воды m₂ , которая превратилась в пар.

Ответ: V₁ = 0,55V ; V₂ = 0,45V .

Источник: Физика. Полный курс подготовки к ЦТ.  Под общей редакцией проф. В.А. Яковенко.